坐在马桶上看算法(10):开启“树”之旅

我们先来看一个例子。

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这是什么?是一个图?不对,确切的说这是一棵树。这哪里像树呢?不要着急我们来变换一下。

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是不是很像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶子朝下的。不像?哈哈,看完下面这幅图你就会觉得像啦。

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你可能会问:树和图有什么区别?这个称之为树的东西貌似和无向图差不多嘛。不要着急,继续往下看。树其实就是不包含回路的连通无向图。你可能还是无法理解这其中的差异,举个例子,如下。

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上面这个例子中左边的是一棵树,而右边的是一个图。因为左边的没有回路,而右边的存在1->2->5->3->1这样的回路。

  1. 正是因为树有着“不包含回路”这个特点,所以树就被赋予了很多特性。
  2. 一棵树中的任意两个结点有且仅有唯一的一条路径连通。
  3. 一棵树如果有n个结点,那么它一定恰好有n-1条边。

在一棵树中加一条边将会构成一个回路。树这个特殊的数据结构在哪里会用到呢?比如足球世界杯的晋级图,家族的族谱图、公司的组织结构图、书的目录、我们用的操作系统Windows、Liunx或者Mac中的“目录(文件夹)”都是一棵树。下面就是“啊哈C”这个软件的目录结构。

假如现在正处于libexec文件夹下,需要到gdiplus文件夹下。你必须先“向上”回到上层文件夹core,再进入include文件夹,最后才能进入gdiplus文件夹。因为一棵树中的任意两个结点(这里就是文件夹)有且仅有唯一的一条路径连通。

为了之后讲解的方便,我们这里对树进行一些定义。

首先,树是指任意两个结点间有且只有一条路径的无向图。 或者说,只要是没有回路的连通无向图就是树。

喜欢思考的同学可能会发现同一棵树可以有多种形态,比如下面这个两棵树。

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为了确定一棵树的形态,在一棵树中可以指定一个特殊的结点——根。我们在对一棵树进行讨论的时候,将树中的每个点称为结点,有的书中也称为节点。有一个根的树叫做有根树(哎,这不是废话嘛)。比如上方左边这棵树的树根是1号结点,右边这棵树的树根是3号结点。

根又叫做根结点,一棵树有且只有一个根结点。根结点有时候也称为祖先。既然有祖先,理所当然就有父亲和儿子。比如上图右边这棵树中3号结点是1、6和7号结点的父亲,1、6和7号结点是3号结点的儿子。同时1号结点又是2号结点的父亲,2号结点是1号结点的儿子,2号结点与4、5号结点关系也显而易见了。

父亲结点简称为父结点,儿子结点简称为子结点。2号结点既是父结点也是子结点,它是1号结点的子结点,同时也是4和5号结点的父结点。另外如果一个结点没有子结点(即没有儿子)那么这个结点称为叶结点,例如4、5、6和7号结点都是叶结点。没有父结点(即没有父亲)的结点称为根结点(祖先)。如果一个结点既不是根结点也不是叶结点则称为内部结点。最后每个结点还有深度,比如5号结点的深度是4。哎,终于啰嗦完了,写的我汗都流出来了,没有理解的请看下面这幅插图吧。

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说了这么多你可能都没有感受到树究竟有什么好处。不要着急,请看下回——二叉树。

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