坐在马桶上看算法(12):堆—神奇的优先队列(上)

堆是什么?是一种特殊的完全二叉树,就像下面这棵树一样。

有没有发现这棵二叉树有一个特点,就是所有父结点都比子结点要小(注意:圆圈里面的数是值,圆圈上面的数是这个结点的编号,此规定仅适用于本节)。符合这样特点的完全二叉树我们称为最小堆。反之,如果所有父结点都比子结点要大,这样的完全二叉树称为最大堆。那这一特性究竟有什么用呢?

假如有14个数分别是99、5、36、7、22、17、46、12、2、19、25、28、1和92。请找出这14个数中最小的数,请问怎么办呢?最简单的方法就是将这14个数从头到尾依次扫一遍,用一个循环就可以解决。这种方法的时间复杂度是O(14)也就是O(N)。

现在我们需要删除其中最小的数,并增加一个新数23,再次求这14个数中最小的一个数。请问该怎么办呢?只能重新扫描所有的数,才能找到新的最小的数,这个时间复杂度也是O(N)。假如现在有14次这样的操作(删除最小的数后并添加一个新数)。那么整个时间复杂度就是O(142)即O(N2)。那有没有更好的方法呢?堆这个特殊的结构恰好能够很好地解决这个问题。

首先我们先把这个14个数按照最小堆的要求(就是所有父结点都比子结点要小)放入一棵完全二叉树,就像下面这棵树一样。

很显然最小的数就在堆顶,假设存储这个堆的数组叫做h的话,最小数就是h[ 1]。接下来,我们将堆顶的数删除,并将新增加的数23放到堆顶。显然加了新数后已经不符合最小堆的特性,我们需要将新增加的数调整到合适的位置。那如何调整呢?

向下调整!我们需要将这个数与它的两个儿子2和5比较,并选择较小一个与它交换,交换之后如下。

我们发现此时还是不符合最小堆的特性,因此还需要继续向下调整。于是继续将23与它的两个儿子12和7比较,并选择较小一个交换,交换之后如下。

到此,还是不符合最小堆的特性,仍需要继续向下调整直到符合最小堆的特性为止。

我们发现现在已经符合最小堆的特性了。综上所述,当新增加一个数被放置到堆顶时,如果此时不符合最小堆的特性,则将需要将这个数向下调整,直到找到合适的位置为止,使其重新符合最小堆的特性。

向下调整的代码如下。

我们刚才在对23进行调整的时候,竟然只进行了3次比较,就重新恢复了最小堆的特性。现在最小的数依然在堆顶为2。之前那种从头到尾扫描的方法需要14次比较,现在只需要3次就够了。现在每次删除最小的数并新增一个数,并求当前最小数的时间复杂度是O(3),这恰好是O(log214)即O(log2N)简写为O(logN)。假如现在有1亿个数(即N=1亿),进行1亿次删除最小数并新增一个数的操作,使用原来扫描的方法计算机需要运行大约1亿的平方次,而现在只需要1亿*log1亿次,即27亿次。假设计算机每秒钟可以运行10亿次,那原来则需要一千万秒大约115天!而现在只要2.7秒。是不是很神奇,再次感受到算法的伟大了吧。

说到这里,如果只是想新增一个值,而不是删除最小值又该如何操作呢?即如何在原有的堆上直接插入一个新元素呢?只需要直接将新元素插入到末尾,再根据情况判断新元素是否需要上移,直到满足堆的特性为止。如果堆的大小为N(即有N个元素),那么插入一个新元素所需要的时间也是O(logN)。例如我们现在要新增一个数3。

先将3与它的父结点25比较,发现比父结点小,为了维护最小堆的特性,需要与父结点的值进行交换。交换之后发现还是要比它此时的父结点5小,因此需要再次与父结点交换。至此又重新满足了最小堆的特性。向上调整完毕后如下。

向上调整的代码如下。

说了半天,我们忽略一个很重要的问题!就是如何建立这个堆。我们下篇接着说.

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