理解 SVM 背后的数学原理(1)

介绍

这是「SVM 背后的数学原理」系列文章的第一篇。虽然许多人说要了解 SVM,必须要有充分的数学背景知识,但我会尽量由浅入深慢慢地讲解,以便每一个细节都说清楚,甚至对于初学者来说也能够理解。

首先,我们能够从定义中看出SVM需要训练数据,也就是说它是一种监督学习算法。

知道 SVM 是一种分类算法也是十分重要的,这意味着我们将使用它去预测某个东西是否属于特定的类别。

支持向量机(SVM)的目标是什么?

支持向量机的目标是找出能够最大化训练集数据间隔(margin)的最优分类超平面。

例如,我们拥有如下的训练数据:

01_svm-dataset1

我们已经绘制了人群的身高和体重散点图,也用不同的标记区分了男人和女人。

有了这些数据,我们将能够使用SVM回答下面几个问题:

给定一个具体的数据点(身高和体重),这个人是男人还是女人? 例如:如果知道某人身高175cm体重80kg,这个人是男人还是女人?

通过观察上图,我们能够发现分类这些数据是可能的。例如,我们可以描绘一条直线然后所有代表男人的点都在直线的上边,代表女人的点都在直线的下边。

什么是分类超平面?

这条直线被称为分类超平面,如下图所示:

01_svm-dataset1-separated

如果它就是一条线,为什么我们称它为超平面呢?

虽然这次我们是在二维空间使用一个十分简单的数据集例子,但是支持向量机能够在任意维度下工作!

超平面是平面的抽象。

  • 在一维空间,超平面是一个点
  • 在二维空间,它是一条线
  • 在三位空间,它是一个面
  • 在更高维度上,你能够称它为超平面

separating-hyperplane

在一维空间中,点L是一个分类超平面。

什么是最优分类超平面?

你能够找到一个分类超平面,但这并不意味着它是最好的那个!在下面的例子中有几个分类超平面,每个都成功地将我们的数据集分类为男人和女人两部分。

01_svm-dataset1-separated-2

存在许多的分类超平面

假设我们选择绿色的超平面并且使用它给真实数据分类。

01_svm-dataset1-separated-bad

这个超平面并不能够很好的分类数据。

这次,它分类出现了错误。明显,我们能够看出,如果我们选择了一个靠近某一类数据点的超平面,它也许并不能很好地分类数据。

因此我们将会尝试选择一个尽可能远离每一种类别数据点的超平面:

01_svm-dataset-optimal-hyperplane

这一个看起来更好。当我们用它分类真实数据中时,它仍然进行了完美的分类。

01_svm-dataset1-separated-good

黑色的超平面比绿色的超平面分类更准确。

这就是为什么SVM的目标是寻找最优分类超平面

  • 因为它能够正确地分类训练数据
  • 同时因为它能更准确地分类尚未出现的数据。

什么是间隔和它是如何帮助选择最优超平面?

07_withMidpointsAndSeparator1

我们的最优超平面的间隔

给定一个超平面,我们能够计算出超平面到最近的一个点的距离。一旦我们算出这个值,如果我们将距离乘以2我们就可以得到间隔(margin)。

基本上,间隔是一个“无人区”。在间隔内不存在任何数据点。

对于另一个超平面,间隔将看起来像这样:

如图所示,间隔B比间隔A小得多。

我们能够观察到以下结果:

  • 如果一个超平面十分接近某个数据点,它的间隔将很小
  • 超平面距离数据点越远,间隔就越大

这意味着最优超平面将是拥有最大边距的那个超平面

这也是为什么SVM的目标是找到最大化训练集数据间隔的最优分类超平面


到这里关于SVM背后的数学原理的介绍就结束了,目前没有有多少公式,但是在下篇文章我们将增加一些数字然后试着从数学的视角(几何和向量)来进行理解。

1 7 收藏 评论

关于作者:方小达

GEEK inside 个人主页 · 我的文章 · 10 ·     

相关文章

可能感兴趣的话题



直接登录
跳到底部
返回顶部