算法系列(1):Google方程式

有一个字符组成的等式:WWWDOT – GOOGLE = DOTCOM,每个字符代表一个0-9之间的数字,WWWDOT、GOOGLE和DOTCOM都是合法的数字,不能以0开头。请找出一组字符和数字的对应关系,使它们互相替换,并且替换后的数字能够满足等式。这个字符等式是Google公司能力倾向测试实验室的一道题目,这种题目主要考察人的逻辑推导能力和短期记忆能力,通常棋下的好的人解决这类问题会更得心应手一些(飞行棋例外)。此类型的题目有很多变种,各种编程比赛中常常能见到它们的身影。比如2005年的GOOGLE中国编程挑战赛第二轮淘汰赛有一道名为“SecretSum”的500分的竞赛题,与本题如出一辙,只不过字母都是三个,而且用的是加法计算。现在言归正传,先看看如何分析这个问题。

以人的思维方式分析问题

将横式改成竖式可能更直观一些:

根据以上竖式减法,从左向右依次可以得到6个算式,分别是:

W – G = D (算式 1)

W – O = O (算式 2)

W – O = T (算式 3)

D – G = C (算式 4)

O – L = O (算式 5)

T – E = M (算式 6)

根据以上6个算式可以分析出两个关键信息:一个是W要足够大,因为考虑到它可能被借位的情况还要等于G和D的和;另一个则是本问题的突破口,就是算式2和算式3两次出现的W – O计算。现在分析算式2和算式3,根据是否需要借位,算式2和算式3一共有四种借位组合结果,下面分别对这四种借位组合结果进行分析。

1. W – O = T不需要借位,W – O = O也不需要借位

由于W – O = T和W – O = O都不需要借位,则可由算式2变形得到算式1.1:
W = 2O (算式1.1)

将算式1.1带入算式3,又可以得到算式1.2:

O = T (算式 1.2)

根据算式1.2,O和T代表的数字是同一个数字,这与题目要求不符,因此,这种借位组合不能得到正确的结果。

2. W – O = T需要借位,W – O = O不需要借位

根据借位情况,对算式2和算式3进行借位修正,得到两个修正算式:

W – 1 – O = O (算式2.1)

W + 10 – O = T (算式2.2)

由算式2.1变形得到算式2.3:

W = 2O + 1 (算式2.3)

将算式2.3带入算式2.2可以得到算式2.4:

T = O + 11 (算式2.4)

对算式2.3分析,由于W是个位数,最大值是9,所以O的取值只能是1-4,但是无论如何,由算式2.4计算出的T都超过9,这与题目要求不符,因此,这种情况也是无解的情况。

3. W – O = T不需要借位,W – O = O需要借位

根据借位情况,对算式2和算式3进行借位修正,得到两个修正算式:

W + 10 – O = O (算式3.1)

W – O = T (算式3.2)

由算式3.1变形得到算式3.3:

W = 2O – 10 (算式3.3)

将算式3.3带入算式3.2由可得到算式3.4:

O – 10 = T (算式3.4)

O显然是不能比10大的个位数,因此,这种情况也是无解的情况

4. W – O = T需要借位,W – O = O也需要借位

根据借位情况,对算式2和算式3进行借位修正,得到两个修正算式:

W – 1 + 10 – O = O (算式4.1)

W + 10 – O = T (算式4.2)

由算式4.1变形得到算式4.3:

W = 2O – 9 (算式4.3)

将算式4.3代入算式4.2得到算式4.4:

O + 1 = T (算式4.4)

由于W不能小于0,因此,根据算式4.3,O的取值最小为5。根据算式4.4继续分析,因为T不能大于9,因此O的最大值只能取值为8。根据O的取值区间[5,8],可依次计算出W和T的值,如下表所示:

qq%e6%88%aa%e5%9b%be20160916192816

已知O、W、T的取值,可以进一步推算其他字符代表的数字,上表中得到了四组目前合法的取值,但是并不是四组取值都能最终推算出正确的结果,本题的答案只有一个,也就是说只有一组O、W、T的取值是正确的,下面就分别进行分析。

O = 5, W = 1, T = 7

在这种情况下,考察算式1:W – G = D,W = 1显然无法满足此种情况,更何况算式2: W – O = O还要从它这里借位,因此,这种情况无解。

O = 6, W = 3, T = 7

在这种情况下,算式2: W – O = O还要从它这里借位,因此算式1:W – G = D对应的实际情况是2 – G = D,G和D不能同时为1,而且G和D都是第一位数字,不能是0,因此无法满足算式1,这种情况也是无解。

O = 7, W = 5, T = 8

在这种情况下,需要考察另另外两个关键算式,分别是算式5和算式6。根据这两个算式是否需要借位进行不同的假设,根据组合,仍然有四种假设,下面分别分析这四种假设:

假设一:算式5需要借位,算式6不需要借位。则此时算式5可修正为O + 10 – L = O,推算出L = 10,显然不符合题意,假设一不成立;

假设二:算式5需要借位,算式6需要借位,则算式5和算式6应该修正为算式4.3.1和算式4.3.2:

O -1 + 10 – L = O (算式4.3.1)

T + 10 – E = M (算式4.3.2)

因为已知T=8,带入4.3.2可得E+M=18,显然对于两个不相同的个位数无法满足这个等式,因此假设二也不成立;

假设三:算式5不需要借位,算式6不需要借位,此时根据算式6可知E和M的和是8(T=8),排除E=M=4的情况后,E和M的组合可以是(1,7)、(2,6)和(3,5),又因为数字5和7分别被W和O使用,因此E和M只能是2或6。再回头来看算式1,因为算式2需要借位,算式1实际相当于G + D = 4,G和D只能取值1和3,若G=1,D=3,则根据算式4计算出C=2,这与E或M矛盾。若G=3,D=1,则算式4需要借位,这又与算式3的假设矛盾。由此看来,假设三也不能得到正确的结果;

假设四:算式5不需要借位,算式6需要借位,此时根据算式5被修正为O – 1 – L = O,这种情况下也是无解的。

O = 8, W = 7, T = 9

在这种情况下,根据算式5和算式6是否借位的假设,仍然有四种假设,下面分别分析这四种假设:

假设一:算式5需要借位,算式6不需要借位。则此时算式5可修正为O + 10 – L = O,推算出L = 10,显然不符合题意,假设一不成立;

假设二:算式5需要借位,算式6需要借位,则算式5和算式6应该修正为算式4.4.1和算式4.4.2:

O -1 + 10 – L = O (算式4.4.1)

T + 10 – E = M (算式4.4.2)

因为已知T=9,带入4.4.2可得E+M=19,两个不同的个位数的和不可能大于18,因此假设二也不成立;

假设三:算式5不需要借位,算式6不需要借位,此时根据算式6可知E和M的和是9(T=9),E和M的组合可以是(1,8)、(2,7) 、(4,5)和(3,6),又因为数字8和7分别被O和W使用,因此E和M只能是(4,5)和(3,6)。进一步假设E=4,M=5(反过来E=5,M=4是一样的,不影响分析)。再看算式1,因为算式2需要借位,算式1实际相当于G + D = 6,由于M或E是5,所以G和D只能取值2和4。若G=2,D=4,则根据算式4计算出C=2,这与G=2矛盾。若G=4,D=2,则算式4需要借位,这又与算式3的假设矛盾,因此E=4,M=5的情况无解。再次进一步假设E=3,M=6(反过来E=6,M=3是一样的,不影响分析)。同样再看算式1,G和D的值可取是(2,4)和(1,5),G和D取值1和2的情况刚刚分析过无解,因此G和D的取值只能是1和5,前面分析过,算式4没有借位,也就是说要保证D > G,因此,D=5,G=1,根据算式4计算出C=4,这样就得到了一组解:O = 8,W = 7,T = 9,D = 5,L = 0, G = 1,C = 4,E = 3/6,M = 6/3。最终的等式是:

777589 – 188103 = 589486

777589 – 188106 = 589483

假设四:算式5不需要借位,算式6需要借位,此时根据算式5被修正为O – 1 – L = O,这种情况下也是无解的。

完整的分析过程结束,得到了一组答案,事实上通过计算机穷举算法也只能得到这一组结果,下面就看看如何用计算机算法求解本题的答案

用计算机穷举所有的解

以上是用人的思维方式的解题过程,如果方法正确,加上运气好(三次假设都是正确的,避免在错误分支上浪费时间),两分钟内就可得到结果。但是考虑到更通用的情况,字母数字没有规律,也没有可供分析的入手点和线索,比如:

AAB – BBC = CCD

这样的问题,该什么方法解决呢?只能“猜想”,用穷举的方法试探每一种猜想,对每个字母和数字穷举所有可能的组合,直到得到正确的结果。当然,这样的力气活交给计算机做是最合适不过了。

1. 建立数学模型

要想让计算机解决问题,就要让计算机能够理解题目,这就需要建立一个计算机能够识别、处理的数学模型,首先要解决的问题就是建立字母和数字的映射关系的数学模型。本题的数学模型很简单,就是一个字母二元组:{char, number}。考察等式:

WWWDOT – GOOGLE = DOTCOM

共出现了9个不同的字母:W、D、O、T、G、L、E、C和M,因此,最终的解应该是9个字母对应的字母二元组向量:[ {‘W’, 7}, {‘D’, 5}, {‘O’, 8}, {‘T’, 9}, {‘G’, 1}, {‘L’, 0}, {‘E’, 3}, {‘C’, 4}, {‘M’, 6} ]。穷举算法就是对这个字母二元组向量中每个字母二元组的number元素进行穷举,number的穷举范围就是0-9共10个数字,当然,根据题目要求,有一些字符不能为0,比如W、G和D。排列组合问题的穷举多使用多重循环,看样子这个穷举算法应该是9重循环了,在每层循环中对一个字母进行从0到9遍历。问题是,必须这样吗,对于更通用的情况,不是9个字母的问题怎么办?首先思考一下是否每次都要遍历0-9。题目要求每个字母代表一个数字,而且不重复,很显然,对每个字母进行的并不是排列,而是某种形式的组合,举个例子,就是如果W字母占用了数字7,那么其它字母就肯定不是7,所以对D字母遍历是就可以跳过7。进一步,假设某次遍历的字母二元组向量中除M字母外其它8个字母已经有对应的数字了,比如:

[ {‘W’, 7}, {‘D’, 5}, {‘O’, 8}, {‘T’, 9}, {‘G’, 1}, {‘L’, 0}, {‘E’, 3}, {‘C’, 4}, {‘M’, ?} ] (序列-1)

那么M的可选范围就只有2和6,显然没必要使用9重循环。

现在换一种想法,对9个二元组的向量进行遍历,可以分解为两个步骤,首先确定第一个二元组的值,然后对剩下的8个二元组进行遍历。显然这是一种递归的思想(分治),算法很简单,但是要对10个数字的使用情况进行标识,对剩下的二元组进行遍历时只使用没有占用标识的数字。因此还需要一个标识数字占用情况的数字二元组定义,这个二元组可以这样定义:{number, using},0-9共有10个数字,因此需要维护一个长度为10的数字二元组向量。数字二元组向量的初始值是:

[{0, false}, {1, false},{2, false},{3, false},{4, false},{5, false},{6, false},{7, false},{8, false},{9, false}] (序列-2)

每进行一重递归就有一个数字的using标志被置为true,当字母二元组向量得到(序列-1)的结果时,对应的数字二元组向量的值应该是:

[{0, true}, {1, true},{2, false},{3, true},{4, true},{5, true},{6, false},{7, true},{8, true},{9, true}] (序列-3)

此时遍历这个数字二元组向量就可以知道M字母的可选值只能是2或6。

穷举遍历的结束条件是每层递归中遍历完所有using标志是false的数字,最外一层遍历完所有using标志是false的数字就结束了算法。

根据题目要求,开始位置的数字不能是0,也就是W、G和D这三个字母不能是0,这是一个“剪枝”条件,要利用起来,因此,对字母二元组进行扩充成字母三元组,添加一个leading标志:{char, number, leading}。下面就是这个数学模型的C语言定义:

根据此数学模型初始化字母三元组和数字二元组向量:

2. 穷举算法

建立数学模型,其实就是为了让计算机理解题目并处理相关的数据,算法就是告诉计算机如何使用这些模型中的数据。本文介绍的是穷举算法,算法的核心其实前面已经提到了,就是穷举所有的字母和数字的组合,对每种组合进行合法性判断,如果是合法的组合,就输出结果。

整个算法的核心是SearchingResult()函数,其实这个函数非常简单:

SearchingResult()函数有四个参数,ci就是存储遍历结果的字母三元组向量,cv是存储遍历过程中数字占用情况的数字二元组向量,index是当前处理的字母三元组在字母三元组向量中的位置索引,0表示第一个字母三元组。callback是一个回调函数,当ci中所有三元组都分配了数字,就调用callback对这组解进行判断,如果满足算式就输出结果。SearchingResult()函数的代码分两部分,前一部分是结束条件判断和结果输出,后一部分是算法的关键。算法就是遍历cv中的所有数字二元组,对于每一个可用的数字(当前没有被占用,并且满足第一个数字不是0的要求),首先设置占用标志,然后将当前字母三元组的值与这个数字的值绑定,最后递归处理下一个字母三元组。

SearchingResult()函数是一个通用过程,负责字母和数字的组合,回调函数(callback)负责根据题目要求对SearchingResult()函数得到的字母和数字的组合进行筛选,只输出正确的组合。对于本题,回调函数可以这样实现:

3. 结果验证

根据char_item和char_val的初始数据,求解本题的Google方程式:

SearchingResult(char_item, char_val, 0, OnCharListReady);

穷举算法可以得到两个结果(M和E可以互换):

777589 – 188103 = 589486

777589 – 188106 = 589483

由于算法具有通用性,对于前文例子中的等式:

AAB – BBC = CCD

只需要构造新的字母三元组向量,并修改回调函数的过滤数据即可。新的字母三元组可按照如下方式构造:

回调函数与前文的OnCharListReady()函数类似,此处不再列出。根据新的字符三元组和回调函数运行算法,可以得到13组结果:

443 – 331 = 112

553 – 332 = 221

554 – 441 = 113

665 – 551 = 114

774 – 443 = 331

775 – 552 = 223

776 – 661 = 115

885 – 553 = 332

886 – 662 = 224

887 – 771 = 116

995 – 554 = 441

997 – 772 = 225

998 – 881 = 117

对于加法、乘法和除法算式,同样只要使用不用的回调函数进行结果判断即可,不需要修改SearchingResult()函数,例如加法算式:

ABC + ABC = BCE

可以得到5组结果:

124 + 124 = 248

125 + 125 = 250

249 + 249 = 498

374 + 374 = 748

375 + 375 = 750

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