纸上谈兵: 哈希表 (hash table)

HASH

哈希表(hash table)是从一个集合A到另一个集合B的映射(mapping)。映射是一种对应关系,而且集合A的某个元素只能对应集合B中的一个元素。但反过来,集合B中的一个元素可能对应多个集合A中的元素。如果B中的元素只能对应A中的一个元素,这样的映射被称为一一映射。这样的对应关系在现实生活中很常见,比如:

A  -> B

人 -> 身份证号

日期 -> 星座

上面两个映射中,人 -> 身份证号是一一映射的关系。在哈希表中,上述对应过程称为hashing。A中元素a对应B中元素b,a被称为键值(key),b被称为a的hash值(hash value)。

韦小宝的hash值

映射在数学上相当于一个函数f(x):A->B。比如 f(x) = 3x + 2。哈希表的核心是一个哈希函数(hash function),这个函数规定了集合A中的元素如何对应到集合B中的元素。比如:

%e5%93%88%e5%b8%8c%e8%a1%a8

上述对应中,哈希函数表示为hash(x) = x % 10。也就是说,给一个三位数,我们取它的最后一位作为该三位数的hash值。

哈希表在计算机科学中应用广泛。比如:

Ethernet中的FCS:参看小喇叭开始广播 (以太网与WiFi协议)

IP协议中的checksum:参看我尽力 (IP协议详解)

git中的hash值:参看版本管理三国志

上述应用中,我们用一个hash值来代表键值。比如在git中,文件内容为键值,并用SHA算法作为hash function,将文件内容对应为固定长度的字符串(hash值)。如果文件内容发生变化,那么所对应的字符串就会发生变化。git通过比较较短的hash值,就可以知道文件内容是否发生变动。

再比如计算机的登陆密码,一般是一串字符。然而,为了安全起见,计算机不会直接保存该字符串,而是保存该字符串的hash值(使用MD5、SHA或者其他算法作为hash函数)。当用户下次登陆的时候,输入密码字符串。如果该密码字符串的hash值与保存的hash值一致,那么就认为用户输入了正确的密码。这样,就算黑客闯入了数据库中的密码记录,他能看到的也只是密码的hash值。上面所使用的hash函数有很好的单向性:很难从hash值去推测键值。因此,黑客无法获知用户的密码。

(之前有报道多家网站用户密码泄露的时间,就是因为这些网站存储明文密码,而不是hash值,见多家网站卷入CSDN泄密事件 明文密码成争议焦点)

注意,hash只要求从A到B的对应为一个映射,它并没有限定该对应关系为一一映射。因此会有这样的可能:两个不同的键值对应同一个hash值。这种情况叫做hash碰撞(hash collision)。比如网络协议中的checksum就可能出现这种状况,即所要校验的内容与原文并不同,但与原文生成的checksum(hash值)相同。再比如,MD5算法常用来计算密码的hash值。已经有实验表明,MD5算法有可能发生碰撞,也就是不同的明文密码生成相同的hash值,这将给系统带来很大的安全漏洞。(参考hash collision

HASH与搜索

hash表被广泛的用于搜索。设定集合A为搜索对象,集合B为存储位置,利用hash函数将搜索对象与存储位置对应起来。这样,我们就可以通过一次hash,将对象所在位置找到。一种常见的情形是,将集合B设定在数组下标。由于数组可以根据数组下标进行随机存取(random access,算法复杂度为1),所以搜索操作将取决于hash函数的复杂程度。

比如我们以人名(字符串)为键值,以数组下标为hash值。每个数组元素中存储有一个指针,指向记录 (有人名和电话号码)。

下面是一个简单的hash函数:

hash value of “Vamei”: 498

hash value of “Obama”: 480

我们可以建立一个HASHSIZE大小的数组records,用于储存记录。HASHSIZE被选择为质数,以便hash值能更加均匀的分布。在搜索”Vamei”的记录时,可以经过hash,得到hash值498,再直接读取records[498],就可以读取记录了。

(666666是Obama的电话号码,111111是Vamei的电话号码。纯属杜撰,请勿当真)

hash搜索

如果不采用hash,而只是在一个数组中搜索的话,我们需要依次访问每个记录,直到找到目标记录,算法复杂度为n。我们可以考虑一下为什么会有这样的差别。数组虽然可以随机读取,但数组下标是随机的,它与元素值没有任何关系,所以我们要逐次访问各个元素。通过hash函数,我们限定了每个下标位置可能存储的元素。这样,我们利用键值和hash函数,就可以具备相当的先验知识,来选择适当的下标进行搜索。在没有hash碰撞的前提下,我们只需要选择一次,就可以保证该下标指向的元素是我们想要的元素。

冲突

hash函数需要解决hash冲突的问题。比如,上面的hash函数中,”Obama”和”Oaamb”有相同的hash值,发生冲突。我们如何解决呢?

一个方案是将发生冲突的记录用链表储存起来,让hash值指向该链表,这叫做open hashing:

open hashing

我们在搜索的时候,先根据hash值找到链表,再根据key值遍历搜索链表,直到找到记录。我们可以用其他数据结构代替链表。

open hashing需要使用指针。我们有时候想要避免使用指针,以保持随机存储的优势,所以采用closed hashing的方式来解决冲突。

closed hashing

这种情况下,我们将记录放入数组。当有冲突出现的时候,我们将冲突记录放在数组中依然闲置的位置,比如图中Obama被插入后,随后的Oaamb也被hash到480位置。但由于480被占据,Oaamb探测到下一个闲置位置(通过将hash值加1),并记录。

closed hashing的关键在如何探测下一个位置。上面是将hash值加1。但也可以有其它的方式。概括的说,在第i次的时候,我们应该探测POSITION(i)=(h(x) + f(i)) % HASHSIZE的位置。上面将hash值加1的方式,就相当于设定f(i) = 1。当我们在搜索的时候,就可以利用POSITION(i),依次探测记录可能出现的位置,直到找到记录。

(f(i)的选择会带来不同的结果,这里不再深入)

如果数组比较满,那么closed hashing需要进行许多次探测才能找到空位。这样将大大减小插入和搜索的效率。这种情况下,需要增大HASHSIZE,并将原来的记录放入到新的比较大的数组中。这样的操作称为rehashing。

总结

hash表,搜索

hash冲突, open hashing, closed hashing

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