IMO2011趣题:总存在一条将会遍历所有点的直线

下面这个精彩的问题来自于刚刚结束的 IMO 2011 中的第 2 题:

设 S 是平面上包含至少两个点的一个有限点集,其中没有三点在同一条直线上。所谓一个“风车”是指这样一个过程:从经过 S 中单独一点 P 的一条直线 l 开始,以 P 为旋转中心顺时针旋转,直至首次遇到 S 中的另一点,记为点 Q 。接着这条直线以 Q 为新的旋转中心顺时针旋转,直到再次遇到 S 中的某一点,这样的过程无限持续下去。

证明:可以适当选取 S 中的一点 P ,以及过 P 的一条直线 l ,使得由此产生的“风车”将 S 中的每一点都无限多次用作旋转中心。

注意,由于两点确定的直线只有有限多条,因此直线无限旋转下去,必然会出现和以前某个时刻相同的状态,于是产生循环。另外,由于直线旋转的过程是可逆的,我们不必担心最终产生的是一个 ρ 字形的循环。因此,我们实际上只需要证明,存在这样一条初始直线,它可以碰到所有的点。


我用 Mathematica 写了一个程序,做了一些直观的动画。如图所示的由 6 个点构成的点集,适当地选择初始直线就能遍历所有的点,但错误的选择将会导致有一些点永远也碰不到。

IMO 2011 赛后统计资料显示,这道漂亮的问题竟然是六道题中第二难的题(第一难的题是最后一道)。 polymath blog 组织了 mini-polymath3 活动,邀请众人一同讨论这道题的解法。活动一开始,便引来各路数学高人献计献策,提出了很多有趣的思路和猜想;第 74 分钟,终于有人给出了正确的解法。果然不出所料,神题就该有神解,这道题有一个异常简单巧妙的证明方法。

找一条直线,这条直线两侧的点数一样多(最多相差一个)。下面我们证明,这条直线就满足要求。容易看出,在直线的旋转过程中,直线两侧的点数之差始终不变。因此,这条直线转了 180 度后,直线一定回到了初始的位置(或者它旁边一个点的位置)。但此时,原来在直线左侧的点现在全部跑到了直线右侧,原来在直线右侧的点现在全部跑到了直线左侧。这些点当然是不能瞬移到直线另一侧的,要想跑到直线的另一侧,必须要先穿过直线才行。由此可见,所有点都被直线碰到过了。

来源:matrix67

 

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