基于用户投票的排名算法:牛顿冷却定律

来源:阮一峰

这个系列的前三篇,介绍了Hacker NewsRedditStack Overflow的排名算法。

今天,讨论一个更一般的数学模型。

这个系列的每篇文章,都是可以分开读的。但是,为了保证所有人都在同一页上,我再说一下,到目前为止,我们用不同方法,企图解决的都是同一个问题:根据用户的投票,决定最近一段时间内的”热文排名”。

你可能会觉得,这是一个全新的课题,伴随着互联网而产生,需要全新的方法来解决。但是,实际上不是。我们可以把”热文排名”想象成一个”自然冷却”的过程:

(1)任一时刻,网站中所有的文章,都有一个”当前温度”,温度最高的文章就排在第一位。

(2)如果一个用户对某篇文章投了赞成票,该文章的温度就上升一度。

(3)随着时间流逝,所有文章的温度都逐渐”冷却”。

基于用户投票的排名算法:牛顿冷却定律

这样假设的意义,在于我们可以照搬物理学的冷却定律,使用现成的公式,建立”温度”与”时间”之间的函数关系,轻松构建一个“指数式衰减”(Exponential decay)的过程。

基于用户投票的排名算法:牛顿冷却定律

伟大的物理学家牛顿,早在17世纪就提出了温度冷却的数学公式,被后人称作“牛顿冷却定律”(Newton’s Law of Cooling)。我们就用这个定律构建排名算法。

基于用户投票的排名算法:牛顿冷却定律

“牛顿冷却定律”非常简单,用一句话就可以概况:

物体的冷却速度,与其当前温度与室温之间的温差成正比。

写成数学公式就是:

基于用户投票的排名算法:牛顿冷却定律

其中,

– T(t)是温度(T)的时间(t)函数。微积分知识告诉我们,温度变化(冷却)的速率就是温度函数的导数T'(t)。

– H代表室温,T(t)-H就是当前温度与室温之间的温差。由于当前温度高于室温,所以这是一个正值。

– 常数α(α>0)表示室温与降温速率之间的比例关系。前面的负号表示降温。不同的物质有不同的α值。

这是一个微分方程,为了计算当前温度,需要求出T(t)的函数表达式。

第一步,改写方程,然后等式两边取积分。

基于用户投票的排名算法:牛顿冷却定律

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第二步,求出这个积分的解(c为常数项)。

基于用户投票的排名算法:牛顿冷却定律

基于用户投票的排名算法:牛顿冷却定律

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第三步,假定在时刻t0,该物体的温度是T(t0),简写为T0。代入上面的方程,得到

基于用户投票的排名算法:牛顿冷却定律

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第四步,将上一步的C代入第二步的方程。

基于用户投票的排名算法:牛顿冷却定律

假定室温H为0度,即所有物体最终都会”冷寂”,方程就可以简化为

基于用户投票的排名算法:牛顿冷却定律

上面这个方程,就是我们想要的最终结果:

本期温度 = 上一期温度 x exp(-(冷却系数) x 间隔的小时数)

将这个公式用在”排名算法”,就相当于(假定本期没有增加净赞成票)

本期得分 = 上一期得分 x exp(-(冷却系数) x 间隔的小时数)

其中,”冷却系数”是一个你自己决定的值。如果假定一篇新文章的初始分数是100分,24小时之后”冷却”为1分,那么可以计算得到”冷却系数”约等于0.192。如果你想放慢”热文排名”的更新率,”冷却系数”就取一个较小的值,否则就取一个较大的值。

基于用户投票的排名算法:牛顿冷却定律

[参考文献]

* Rank Hotness With Newton’s Law of Cooling

(完)

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