浅谈编程解决实际问题的常见思想

现实生活中有很多问题,人为不好解决,但利用计算机速度快,不出错的特性,可以很方便的解决这些问题,下面简单说说我在程序设计中解决实际问题的一些常见思想,高手可以忽略掉,我也是无聊了随便写写而已。

1.枚举最优解时的情况

有很多问题初看很棘手,但经过仔细的分析,可以得出一些显然的结论。

比如下面这个问题: 平面内有上千个点,用一个半径为R的圆去覆盖,最多能覆盖多少点?

很多程序员最暴力的思想就是枚举,当然,利用计算机枚举确实是一种很有效的方法,特别是在数据很小的情况下,不过对于上述问题,如何枚举?枚举圆的位置吗?

确实可以枚举圆的位置,如果不经过思考的话可以再二维正交系内枚举每个点为圆心,然后判断这个圆能覆盖多少圆,最后结果取最大。这个确实是一种方法,不过枚举圆心如何操作?圆心的位置是连续的,不一定是整点这种离散位置。 在数据量小并且精度要求不高的情况下,直接枚举圆心位置不失为一种好方法。 不过稍微分析一下,可以得出这样一个结论,最优解的圆,也就是覆盖点数最多的R半径圆,圆上一定有2个点。

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假设最优解的圆上没有2个点,如上图,那么通过微量的平移操作,可以使圆接触平面上的2个点,并且园内的点数不会减少,它的结果不会比圆上没有2个点的情况差,因为只要求最多覆盖多少点,我们可以枚举任意2个点,这样这个半径为R的圆的位置就确定了(在这2点中垂线上,2中情况),再判断下这个圆能覆盖多少点,两两点枚举后取最大,这是一个O(n^3)的算法,1秒内出结果,已经比较高效了。

所以很多时候我们可以分析出最优解是满足哪种情况的,然后利用计算机特性枚举最优解,逆向思维解决问题。

2.动态规划思想

动态规划是一种非常高效的方法,这个编程里面非常非常常见的,不会搜索和动态规划,基本就不会编程。如果能够把一个大的问题划分成若干同类型的小问题,小问题又可以划分为更小的问题,直到问题程度小到一眼就能看出来,那么可以把小问题先求出保存起来,再求大问题,这样的例子相当多,而且利用递归的写法,记忆化深度搜索,很容易实现这种思想。 经典的动态规划还有很多,最长上升子序列,背包问题等等。

如果还有同学不明白动态规划,看下面这一段C语言代码,相信能体会到一些。

3.排序思想

排序是一个很重要的步骤,有很多问题通过排序预处理后可以更加方便的解决,比如有很多张钞票,面值不同,从中选出m张使它们价值最大,一个做法当然是对着些钞票按照面值从大到小排序,然后取钱m张就行了。 很多时候,上述的动态规划需要对变量按照一定规则排序后才能操作,有一定顺序了之后,问题一般更容易解决。

说到排序,不得不说到贪心算法。 贪心算法就是如果整个大问题要到达一个最优解,在构成大问题的小问题中每次取最优的,大问题就能到达最优情况,当然,这种策略需要经过证明正确性后才能实现。 很多贪心过程前也要有排序的工作,比如著名的Kruscal最小生成树算法,要先对边进行排序,所以排序是个很重要的过程,以至于它被收录到各种语言的库函数中,可以方便的被用户调用。

4.二分,三分。

前几天听同学说,现在8K已经招不到会写二分的程序员了,当然这句话有夸张的成分啦,^-^ 可见二分在程序设计中的常用性。

其实这个可以并列到枚举算法那中,只是这种枚举效率很高,很多地方比如SQL数据库里面的查找方式就是二分,二分枚举,三分枚举,时间复杂度都是对数级的,在程序设计中是相当高效的算法。

二分的条件:数据的单调性。 比如在一组从小到大排序的数中寻找数x 这样就可以二分枚举 每次可以把范围缩小一半,无论数据多大,就算超出int类型,都能很快找出来。

比如求函数8*x^4 + 7*x^3 + 2*x^2 + 3*x + 6 == K 在区间[0,100]的解 由于这个函数在[0,100]是单调递增的,所以二分是个不错的选择。

三分的条件: 数据的有凸性。

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比如求函数6*x^7 + 8*x^6 + 7*x^3 + 5*x^2 – K*x 在区间[0,100]的最小值

这个函数在[0,100]是一个先减后增(或者完全单调,主要看K)的函数,所以三分求解。

当然这个问题可以转换为二分,将函数求导,二分其在0的位置即可,这个涉及到高等数学,不赘述了。

具体过程可以去查资料 二分前一般也需要排序操作的。

5.随机算法

很多时候在要解决的问题没有任何思路,枚举数据量又太大的情况下,可以使用一些随机算法。

常见的随机算法,蚁群算法,模拟退火等等。

简单说说模拟退火(后面我打算专门写一篇模拟退火的随笔)

比如平面内有成千上万个点,要在平面选一个圆,覆盖所有点,问最小的半径是多少?

第一次接触这个问题的时候我有想到一种做法(不敢保证正确):

根据1 还是可以得出结论,最优情况圆上面一定有2个点,否则的话可以把圆继续缩小平移,使它上面有2个点,结果更优。

所以枚举任意2个点,圆心一定在这2点中垂线上,这里是对的。 然后假设这个圆心在在中垂线上移动,如果满足要求,包围了所有点。

那么我猜测这个圆在移动过程中半径先减小后增大。(感觉而已,未证明,也未测试,太麻烦了。) 这里可以使用上述的三分枚举,因为半径函数是下凸性的。

我上面这个方法正确性先不说,复杂度是有一点的,枚举2点,再三分。O(n^2*logV) 当然,数据很小的情况下,比如只有几千个点的话,结果秒出,数据大了,效率降低了。

这里说一下模拟退火的思想。 大概依照一个这样的理论,假设现在有1个位置pos,如果最优解圆心位置在pos上面,那么如果往pos下面搜,搜到的圆心一定比在pos的位置时候大。

依照这个理论,我们就可以现在平面内随机生成一些点,然后贪心的随机移动它们,直到达到一定程度停止。这个算法在时间复杂度上是O(n)的 正确性很高,运行也相当的快。

6.最后一个问题转化

有的时候遇到问题,不能立即想出策略,这个时候尝试下将这个问题转化为常见的模型,利用常见模型和经典的算法解决它。

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最常见的还是一些图论上的问题,将实际问题转化为流网络或者二分图。

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