理解快速傅里叶变换(FFT)算法

 

快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform)是信号处理与数据分析领域里最重要的算法之一。没有正规计算机科学课程背景的我,使用这个算法多年,但这周我却突然想起自己从没思考过为什么FFT能如此快速地计算离散傅里叶变换。我打开一本老旧的算法书,欣赏了JW Cooley 和 John Tukey 在1965年的文章中,以看似简单的计算技巧来讲解这个东西。

本文的目标是,深入Cooley-Tukey  FFT 算法,解释作为其根源的“对称性”,并以一些直观的python代码将其理论转变为实际。我希望这次研究能使数据科学家(例如我),对这个算法的背景原理有更全面的认识。

FFT(快速傅里叶变换)本身就是离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)的快速算法,使算法复杂度由原本的O(N^2) 变为 O(NlogN),离散傅里叶变换DFT,如同更为人熟悉的连续傅里叶变换,有如下的正、逆定义形式:

a forward and inverse form which are defined as follows

xn 到 Xk 的转化就是空域到频域的转换,这个转换有助于研究信号的功率谱,和使某些问题的计算更有效率。事实上,你还可以查看一下我们即将推出的天文学和统计学的图书的第十章(这里有一些图示和python代码)。作为一个例子,你可以查看下我的文章《用python求解薛定谔方程》,是如何利用FFT将原本复杂的微分方程简化。

正因为FFT在那么多领域里如此有用,python提供了很多标准工具和封装来计算它。NumPy 和 SciPy 都有经过充分测试的封装好的FFT库,分别位于子模块 numpy.fft 和 scipy.fftpack 。我所知的最快的FFT是在 FFTW包中 ,而你也可以在python的pyFFTW 包中使用它。

虽然说了这么远,但还是暂时先将这些库放一边,考虑一下怎样使用原始的python从头开始计算FFT。

计算离散傅里叶变换

简单起见,我们只关心正变换,因为逆变换也只是以很相似的方式就能做到。看一下上面的DFT表达式,它只是一个直观的线性运算:向量x的矩阵乘法,

matrix-vector multiplication of x

矩阵M可以表示为

with the matrix M given by

这么想的话,我们可以简单地利用矩阵乘法计算DFT:

对比numpy的内置FFT函数,我们来对结果进行仔细检查,

输出:

现在为了验证我们的算法有多慢,对比下两者的执行时间

输出:

使用这种简化的实现方法,正如所料,我们慢了一千多倍。但问题不是这么简单。对于长度为N的输入矢量,FFT是O(N logN)级的,而我们的慢算法是O(N^2)级的。这就意味着,FFT用50毫秒能干完的活,对于我们的慢算法来说,要差不多20小时! 那么FFT是怎么提速完事的呢?答案就在于他利用了对称性。

离散傅里叶变换中的对称性

算法设计者所掌握的最重要手段之一,就是利用问题的对称性。如果你能清晰地展示问题的某一部分与另一部分相关,那么你就只需计算子结果一次,从而节省了计算成本。

Cooley 和 Tukey 正是使用这种方法导出FFT。 首先我们来看下xn+k的值。根据上面的表达式,推出:

xn+k(1)

对于所有的整数n,exp[2π i n]=1。

最后一行展示了DFT很好的对称性:

sym

简单地拓展一下:

sym(1)

同理对于所有整数 i 。正如下面即将看到的,这个对称性能被利用于更快地计算DFT。

DFT 到 FFT:

利用对称性 Cooley 和 Tukey 证明了,DFT的计算可以分为两部分。从DFT的定义得:

xk

我们将单个DFT分成了看起来相似两个更小的DFT。一个奇,一个偶。目前为止,我们还没有节省计算开销,每一部分都包含(N/2)∗N的计算量,总的来说,就是N^2 。

技巧就是对每一部分利用对称性。因为 k 的范围是 0≤k<N , 而 n 的范围是 0≤n<M≡N/2 , 从上面的对称性特点来看,我们只需对每个子问题作一半的计算量。O(N^2) 变成了 O(M^2) 。

但我们不是到这步就停下来,只要我们的小傅里叶变换是偶倍数,就可以再作分治,直到分解出来的子问题小到无法通过分治提高效率,接近极限时,这个递归是 O(n logn) 级的。

这个递归算法能在python里快速实现,当子问题被分解到合适大小时,再用回原本那种“慢方法”。

现在我们做个快速的检查,看结果是否正确:

然后与“慢方法”的运行时间对比下:

现在的算法比之前的快了一个数量级。而且,我们的递归算法渐近于 O(n logn) 。我们实现了FFT 。

需要注意的是,我们还没做到numpy的内置FFT算法,这是意料之中的。numpy 的 fft 背后的FFTPACK算法 是以 Fortran 实现的,经过了多年的调优。此外,我们的NumPy的解决方案,同时涉及的Python堆栈递归和许多临时数组的分配,这显著地增加了计算时间。

还想加快速度的话,一个好的方法是使用Python/ NumPy的工作时,尽可能将重复计算向量化。我们是可以做到的,在计算过程中消除递归,使我们的python FFT更有效率。

向量化的NumPy

注意上面的递归FFT实现,在最底层的递归,我们做了N/32次的矩阵向量乘积。我们的算法会得益于将这些矩阵向量乘积化为一次性计算的矩阵-矩阵乘积。在每一层的递归,重复的计算也可以被向量化。因为NumPy很擅长这类操作,我们可以利用这一点来实现向量化的FFT。

因为我们的算法效率更大幅地提升了,所以来做个更大的测试(不包括DFT_slow)

我们的实现又提升了一个级别。这里我们是以 FFTPACK中大约10以内的因数基准,用了仅仅几十行 Python + NumPy代码。虽然没有相应的计算来证明, Python版本是远优于 FFTPACK源,这个你可以从这里浏览到。

那么 FFTPACK是怎么获得这个最后一点的加速的呢?也许它只是一个详细的记录簿, FFTPACK花了大量时间来保证任何的子计算能够被复用。我们这里的numpy版本涉及到额外的内存的分配和复制,对于如Fortran的一些低级语言就能够很容易的控制和最小化内存的使用。并且Cooley-Tukey算法还能够使其分成超过两部分(正如我们这里用到的Cooley-Tukey FFT基2算法),而且,其它更为先进的FFT算法或许也可以能够得到应用,包括基于卷积的从根本上不同的方法(例如Bluestein的算法和Rader的算法)。结合以上的思路延伸和方法,就可使阵列大小即使不满足2的幂,FFT也能快速执行。

我希望他们提供大量的基于FFT数据分析是怎样进行的背景,尽管纯Python函数在实际中并不适用。作为数据科学家,我们可以暂且引进能够包含基本应用工具的黑盒子,是由我们有更多算法思想的同事参入所构建,但是我坚定的相信:当我们对所应用的数据的底层算法有更深的理解,我们也将会成为更优秀的从业者。

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