七八岁的小盆友,可以这样学数学

七岁儿童的数学:图形着色,色彩数,欧拉路径和欧拉环

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今天作为女儿二年级教室里的客人,教室里都是热爱数学的七八岁女孩子,我做了一个数学调查,关于图形着色、色彩数、地图着色、欧拉路径和环。我带了一大堆准备好的例图,所有的女孩们做了她们自己的图片和地图来相互挑战。最后每个孩子都编制了一个包含他们探索结果的数学“彩色书”。让我来说一说我们所做的。

 

我们从顶点着色开始,给图形的每个顶点涂上不同的颜色。我们从一些简单的例子开始,然后是会让她们犯难的复杂些的图形。

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目标是用最少的颜色种类,图形的色彩数是能够满足着色的最少颜色个数。小姑娘们给图形着色,并数出他们使用的颜色个数,我们还针对图形进行分组讨论,为什么她需要用到这些颜色。

接下来,小姑娘们两人一组,一人创作一个有挑战性的图形,由她的搭档来着色,然后互换角色。

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地图着色,让地图上的每个国家有不同的颜色,当然这和图形着色是很接近的。

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小姑娘们创造了他们自己的地图来相互挑战,然后着手给这些地图着色。我们讨论了这个值得注意的事实:四种颜色就能给任何地图着色。

接着,我们考虑欧拉路径和环,在这种特殊的图形中一笔即可画下所有的边,并且每条边只经过一次。我们从一些简单的例子开始,然后考虑一些复杂点的情况。

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欧拉环在同一个顶点开始并结束,而欧拉路径则在一个顶点开始,在另一个顶点结束。

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我们讨论了有些图形没有欧拉路径和环这一事实。如果有欧拉环,每次到达一个顶点后离开这个顶点时就会从一条新的边经过,因此每个顶点一定有偶数个边。对于欧拉路径,如果起点和终点不同,则起点和终点有奇数条边,同时其他的顶点都有偶数条边。

值得注意的是,在有限连通图中,上面的必要条件也是充分条件。这可以通过建立欧拉路径和环来证明(起点和终点是两个奇数度的节点);每次到达一个新的顶点,就可以从另一个边离开,因此不会被卡住。如果缺少某些边(有些边没有),简单的插入合适的路线来解决,这样它会像期望的单个欧拉路径或环一样。(不过我们没有在二年级的课堂上过多的讨论这个证明。)

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同时,这是个讨论柯尼斯堡的七座桥梁的绝好机会。能否只穿过每座桥一次就游览整个城市?

最后的收获是:一本关于有趣图形的小册子。

Graph Coloring Booklet

这一天的高潮出现在我们给图形着色的过程中,一个小姑娘走到我面前,说:“我想要成为数学家!”真让人高兴!

安德烈 鲍尔帮我作了一套没有着色的原始图形(也可以在Google+上找到),如果想制作自己的小册子这份资料就可以派上用场。把他们打印出来,两面都打印(注意正确的方向),折叠起来做成一个小册子;可以用几个回形针来装订。

可以在 MathOverflow 上看到涉及制作难以着色的地图和图形的计算难度的问题,这些是针对成年人的。

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最新评论
  • demo   2014/06/25

    译者没有理解原文的一些意思吧。sufficient说的是充分条件,与前面的necessary必要条件对应。missed不是缺失而是错过。

    • 奔跑   2014/06/25

      谢谢 @demo
      1.sufficient 这里确实没有理解透彻,原文的意思是上面的必要条件也是充分条件。
      2.missed我原来译为“如果某些边没有”,应该也是可以的。

      翻译的文章有人来看,并指出我的错误,非常感谢! @demo

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