浅谈算法和数据结构(5):优先级队列与堆排序

在很多应用中,我们通常需要按照优先级情况对待处理对象进行处理,比如首先处理优先级最高的对象,然后处理次高的对象。最简单的一个例子就是,在手机上玩游戏的时候,如果有来电,那么系统应该优先处理打进来的电话。

在这种情况下,我们的数据结构应该提供两个最基本的操作,一个是返回最高优先级对象,一个是添加新的对象。这种数据结构就是优先级队列(Priority Queue) 。

本文首先介绍优先级队列的定义,有序和无序数组以及堆数据结构实现优先级队列,最后介绍了基于优先级队列的堆排序(Heap Sort)

一 定义

优先级队列和通常的栈和队列一样,只不过里面的每一个元素都有一个”优先级”,在处理的时候,首先处理优先级最高的。如果两个元素具有相同的优先级,则按照他们插入到队列中的先后顺序处理。

优先级队列可以通过链表,数组,堆或者其他数据结构实现。

二 实现

数组

最简单的优先级队列可以通过有序或者无序数组来实现,当要获取最大值的时候,对数组进行查找返回即可。代码实现起来也比较简单,这里就不列出来了。

如上图:

· 如果使用无序数组,那么每一次插入的时候,直接在数组末尾插入即可,时间复杂度为O(1),但是如果要获取最大值,或者最小值返回的话,则需要进行查找,这时时间复杂度为O(n)。

· 如果使用有序数组,那么每一次插入的时候,通过插入排序将元素放到正确的位置,时间复杂度为O(n),但是如果要获取最大值的话,由于元阿苏已经有序,直接返回数组末尾的 元素即可,所以时间复杂度为O(1).

所以采用普通的数组或者链表实现,无法使得插入和排序都达到比较好的时间复杂度。所以我们需要采用新的数据结构来实现。下面就开始介绍如何采用二叉堆(binary heap)来实现优先级队列

二叉堆

二叉堆是一个近似完全二叉树的结构,并同时满足堆积的性质:即子结点的键值或索引总是小于(或者大于)它的父节点。 有了这一性质,那么二叉堆上最大值就是根节点了。

二叉堆的表现形式:我们可以使用数组的索引来表示元素在二叉堆中的位置。

Heap representation

从二叉堆中,我们可以得出:

· 元素k的父节点所在的位置为[k/2]

· 元素k的子节点所在的位置为2k和2k+1

跟据以上规则,我们可以使用二维数组的索引来表示二叉堆。通过二叉堆,我们可以实现插入和删除最大值都达到O(nlogn)的时间复杂度。

对于堆来说,最大元素已经位于根节点,那么删除操作就是移除并返回根节点元素,这时候二叉堆就需要重新排列;当插入新的元素的时候,也需要重新排列二叉堆以满足二叉堆的定义。现在就来看这两种操作。

从下至上的重新建堆操作: 如果一个节点的值大于其父节点的值,那么该节点就需要上移,一直到满足该节点大于其两个子节点,而小于其根节点为止,从而达到使整个堆实现二叉堆的要求。

由上图可以看到,我们只需要将该元素k和其父元素k/2进行比较,如果比父元素大,则交换,然后迭代,一直到比父元素小为止。

这样,往堆中插入新元素的操作变成了,将该元素从下往上重新建堆操作:

代码实现如下:

动画如下:

由上至下的重新建堆操作:当某一节点比其子节点要小的时候,就违反了二叉堆的定义,需要和其子节点进行交换以重新建堆,直到该节点都大于其子节点为止:

代码实现如下:

这样,移除并返回最大元素操作DelMax可以变为:

1. 移除二叉堆根节点元素,并返回

2. 将数组中最后一个元素放到根节点位置

3. 然后对新的根节点元素进行Sink操作,直到满足二叉堆要求。

移除最大值并返回的操作如下图所示:

以上操作的实现如下:

动画如下:

三 堆排序

概念

运用二叉堆的性质,可以利用它来进行一种就地排序,该排序的步骤为:

1. 使用序列的所有元素,创建一个最大堆。

2. 然后重复删除最大元素。

如下图,以对S O R T E X A M P L E 排序为例,首先本地构造一个最大堆,即对节点进行Sink操作,使其符合二叉堆的性质。

然后再重复删除根节点,也就是最大的元素,操作方法与之前的二叉堆的删除元素类似。

创建最大二叉堆

使用至下而上的方法创建二叉堆的方法为,分别对叶子结点的上一级节点以重上之下的方式重建堆。

代码如下:

排序

利用二叉堆排序其实就是循环移除顶部元素到数组末尾,然后利用Sink重建堆的操作。如下图,实现代码如下:

堆排序的动画如下:

分析

1. 在构建最大堆的时候,最多需要2N次比较和交换

2. 堆排序最多需要2NlgN次比较和交换操作

优点:堆排序最显著的优点是,他是就地排序,并且其最坏情况下时间复杂度为NlogN。经典的合并排序不是就地排序,它需要线性长度的额外空间,而快速排序其最坏时间复杂度为N2

缺点:堆排序对时间和空间都进行了优化,但是:

1. 其内部循环要比快速排序要长。

2. 并且其操作在N和N/2之间进行比较和交换,当数组长度比较大的时候,对CPU缓存利用效率比较低。

3. 非稳定性排序。

四 排序算法的小结

本文及前面文章介绍了选择排序插入排序希尔排序合并排序快速排序以及本文介绍的堆排序。各排序的稳定性,平均,最坏,最好的时间复杂度如下表:

可以看到,不同的排序方法有不同的特征,有的速度快,但是不稳定,有的稳定,但是不是就地排序,有的是就地排序,但是最坏情况下时间复杂度不好。那么有没有一种排序能够集合以上所有的需求呢?

五 结语

本文介绍了二叉堆,以及基于二叉堆的堆排序,他是一种就地的非稳定排序,其最好和平均时间复杂度和快速排序相当,但是最坏情况下的时间复杂度要优于快速排序。但是由于他对元素的操作通常在N和N/2之间进行,所以对于大的序列来说,两个操作数之间间隔比较远,对CPU缓存利用不太好,故速度没有快速排序快。

下文将开始介绍查找算法,并介绍二叉查找树。

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