算法题:删除 K 位数字

1.问题描述

现有一个 n 位数,你需要删除其中的 k 位,请问如何删除才能使得剩下的数最大?

比如当数为 2319274, k=1 时,删去 2 变成 319274 后是可能的最大值。

2.问题分析

[1]贪心解法

这题可以使用贪心策略,每次从高位向低位数,删除高位比低位数字小的那位上的数字,直到删除了k位之后,得到的数字肯定是最大值。

(1)删数问题具有最优子结构:

(2)删数问题具有贪心选择性质:

设问题T已按照上面的方法删除,假设 A=(y1,y2,···,yk) 是删数问题的一个最优解。易知,若问题有解,则1≤k≤n。 (1)当k=1时,由前得证,A=(y1,A′)是问题的最优解,其中A′是A中不删除了y1而删除其他位的最优解; (2)当k=q时,由反证法,可得A=(y1,y2···,yq)是最优解; 当k=q+1时,由前得证,A=(y1,y2···,yq+yq+1)是最优解。 所以,删数问题具有贪心选择性质。

代码很容易实现,AC,1.484s,1.089MB

 

[2]动态规划解法

根据上面的分析可以看出此题还可用动态规划来解决,思路如下:

假设A(i,j)表示输入数字(字符串)的从第i位到第j位数字组成的字符串,S(i,j)表示前i位中删除j位得到的最优解,它实际上可以看做两个子问题:如果删除第j位,那么S(i,j)等于前i-1位删除j-1位的最优解加上第j位数字;如果不删除第j位,那么S(i,j)等于前i-1位删除j位的最优解。于是便有下面的递推式:

这个递推式非常类似最长公共子序列问题的递推式,所以解法也类似,在空间方面可以只使用一个一维数组,加上一个额外的O(1)的空间,计算过程如下面制作的表格所示,除了第一列,其他中间元素都只依赖于上面一行对应位置S(i−1,j)和上面一行左边位置S(i−1,j−1)两个元素的大小,比较的是字符串,使用字典序进行比较,C++内置的字符串比较函数compare即可。

动态规划实现代码 [这份代码没有AC,只能得到60分就超时了,应该还可以改进]。

从这道题中可以看出,虽然动态规划每次做出当前情况下最好的决策,但是为了做出最好的决策花费了大量的时间和空间,对于删数问题贪心算法应该是较好的解决方案。

打赏支持我写出更多好文章,谢谢!

打赏作者

打赏支持我写出更多好文章,谢谢!

1 7 收藏 1 评论

关于作者:五道口宅男潇涧

平凡之路,平凡如我! 个人主页 · 我的文章 · 5 ·    

相关文章

可能感兴趣的话题



直接登录
最新评论
跳到底部
返回顶部