数据挖掘(10):卷积神经网络算法的一个实现

前言

从理解卷积神经到实现它,前后花了一个月时间,现在也还有一些地方没有理解透彻,CNN还是有一定难度的,不是看哪个的博客和一两篇论文就明白了,主要还是靠自己去专研,阅读推荐列表在末尾的参考文献。目前实现的CNN在MINIT数据集上效果还不错,但是还有一些bug,因为最近比较忙,先把之前做的总结一下,以后再继续优化。

卷积神经网络CNN是Deep Learning的一个重要算法,在很多应用上表现出卓越的效果,[1]中对比多重算法在文档字符识别的效果,结论是CNN优于其他所有的算法。CNN在手写体识别取得最好的效果,[2]将CNN应用在基于人脸的性别识别,效果也非常不错。前段时间我用BP神经网络对手机拍照图片的数字进行识别,效果还算不错,接近98%,但在汉字识别上表现不佳,于是想试试卷积神经网络。

 

1、CNN的整体网络结构

卷积神经网络是在BP神经网络的改进,与BP类似,都采用了前向传播计算输出值,反向传播调整权重和偏置;CNN与标准的BP最大的不同是:CNN中相邻层之间的神经单元并不是全连接,而是部分连接,也就是某个神经单元的感知区域来自于上层的部分神经单元,而不是像BP那样与所有的神经单元相连接。CNN的有三个重要的思想架构:

  • 局部区域感知
  • 权重共享
  • 空间或时间上的采样

局部区域感知能够发现数据的一些局部特征,比如图片上的一个角,一段弧,这些基本特征是构成动物视觉的基础[3];而BP中,所有的像素点是一堆混乱的点,相互之间的关系没有被挖掘。

CNN中每一层的由多个map组成,每个map由多个神经单元组成,同一个map的所有神经单元共用一个卷积核(即权重),卷积核往往代表一个特征,比如某个卷积和代表一段弧,那么把这个卷积核在整个图片上滚一下,卷积值较大的区域就很有可能是一段弧。注意卷积核其实就是权重,我们并不需要单独去计算一个卷积,而是一个固定大小的权重矩阵去图像上匹配时,这个操作与卷积类似,因此我们称为卷积神经网络,实际上,BP也可以看做一种特殊的卷积神经网络,只是这个卷积核就是某层的所有权重,即感知区域是整个图像。权重共享策略减少了需要训练的参数,使得训练出来的模型的泛华能力更强。

采样的目的主要是混淆特征的具体位置,因为某个特征找出来后,它的具体位置已经不重要了,我们只需要这个特征与其他的相对位置,比如一个“8”,当我们得到了上面一个”o”时,我们不需要知道它在图像的具体位置,只需要知道它下面又是一个“o”我们就可以知道是一个’8’了,因为图片中”8″在图片中偏左或者偏右都不影响我们认识它,这种混淆具体位置的策略能对变形和扭曲的图片进行识别。

CNN的这三个特点是其对输入数据在空间(主要针对图像数据)上和时间(主要针对时间序列数据,参考TDNN)上的扭曲有很强的鲁棒性。CNN一般采用卷积层与采样层交替设置,即一层卷积层接一层采样层,采样层后接一层卷积…这样卷积层提取出特征,再进行组合形成更抽象的特征,最后形成对图片对象的描述特征,CNN后面还可以跟全连接层,全连接层跟BP一样。下面是一个卷积神经网络的示例:

图1(图片来源)

卷积神经网络的基本思想是这样,但具体实现有多重版本,我参考了matlab的Deep Learning的工具箱DeepLearnToolbox,这里实现的CNN与其他最大的差别是采样层没有权重和偏置,仅仅只对卷积层进行一个采样过程,这个工具箱的测试数据集是MINIST,每张图像是28*28大小,它实现的是下面这样一个CNN:

图2

 

2、网络初始化

CNN的初始化主要是初始化卷积层和输出层的卷积核(权重)和偏置,DeepLearnToolbox里面对卷积核和权重进行随机初始化,而对偏置进行全0初始化。

 

3、前向传输计算

前向计算时,输入层、卷积层、采样层、输出层的计算方式不相同。

3.1 输入层:输入层没有输入值,只有一个输出向量,这个向量的大小就是图片的大小,即一个28*28矩阵;

3.2 卷积层:卷积层的输入要么来源于输入层,要么来源于采样层,如上图红色部分。卷积层的每一个map都有一个大小相同的卷积核,Toolbox里面是5*5的卷积核。下面是一个示例,为了简单起见,卷积核大小为2*2,上一层的特征map大小为4*4,用这个卷积在图片上滚一遍,得到一个一个(4-2+1)*(4-2+1)=3*3的特征map,卷积核每次移动一步,因此。在Toolbox的实现中,卷积层的一个map与上层的所有map都关联,如上图的S2和C3,即C3共有6*12个卷积核,卷积层的每一个特征map是不同的卷积核在前一层所有map上作卷积并将对应元素累加后加一个偏置,再求sigmod得到的。还有需要注意的是,卷积层的map个数是在网络初始化指定的,而卷积层的map的大小是由卷积核和上一层输入map的大小决定的,假设上一层的map大小是n*n、卷积核的大小是k*k,则该层的map大小是(n-k+1)*(n-k+1),比如上图的24*24的map大小24=(28-5+1)。 斯坦福的深度学习教程更加详细的介绍了卷积特征提取的计算过程。

  图3

3.3 采样层(subsampling,Pooling):采样层是对上一层map的一个采样处理,这里的采样方式是对上一层map的相邻小区域进行聚合统计,区域大小为scale*scale,有些实现是取小区域的最大值,而ToolBox里面的实现是采用2*2小区域的均值。注意,卷积的计算窗口是有重叠的,而采用的计算窗口没有重叠,ToolBox里面计算采样也是用卷积(conv2(A,K,’valid’))来实现的,卷积核是2*2,每个元素都是1/4,去掉计算得到的卷积结果中有重叠的部分,即:

图4

 

4、反向传输调整权重

反向传输过程是CNN最复杂的地方,虽然从宏观上来看基本思想跟BP一样,都是通过最小化残差来调整权重和偏置,但CNN的网络结构并不像BP那样单一,对不同的结构处理方式不一样,而且因为权重共享,使得计算残差变得很困难,很多论文[1][5]和文章[4]都进行了详细的讲述,但我发现还是有一些细节没有讲明白,特别是采样层的残差计算,我会在这里详细讲述。

4.1输出层的残差

和BP一样,CNN的输出层的残差与中间层的残差计算方式不同,输出层的残差是输出值与类标值得误差值,而中间各层的残差来源于下一层的残差的加权和。输出层的残差计算如下:

公式来源

这个公式不做解释,可以查看公式来源,看斯坦福的深度学习教程的解释。

4.2 下一层为采样层(subsampling)的卷积层的残差

当一个卷积层L的下一层(L+1)为采样层,并假设我们已经计算得到了采样层的残差,现在计算该卷积层的残差。从最上面的网络结构图我们知道,采样层(L+1)的map大小是卷积层L的1/(scale*scale),ToolBox里面,scale取2,但这两层的map个数是一样的,卷积层L的某个map中的4个单元与L+1层对应map的一个单元关联,可以对采样层的残差与一个scale*scale的全1矩阵进行克罗内克积进行扩充,使得采样层的残差的维度与上一层的输出map的维度一致,Toolbox的代码如下,其中d表示残差,a表示输出值:

扩展过程:

图5

利用卷积计算卷积层的残差:

图6

4.3 下一层为卷积层(subsampling)的采样层的残差

当某个采样层L的下一层是卷积层(L+1),并假设我们已经计算出L+1层的残差,现在计算L层的残差。采样层到卷积层直接的连接是有权重和偏置参数的,因此不像卷积层到采样层那样简单。现再假设L层第j个map Mj与L+1层的M2j关联,按照BP的原理,L层的残差Dj是L+1层残差D2j的加权和,但是这里的困难在于,我们很难理清M2j的那些单元通过哪些权重与Mj的哪些单元关联,Toolbox里面还是采用卷积(稍作变形)巧妙的解决了这个问题,其代码为:

rot180表示对矩阵进行180度旋转(可通过行对称交换和列对称交换完成),为什么这里要对卷积核进行旋转,答案是:通过这个旋转,’full’模式下得卷积的正好抓住了前向传输计算上层map单元与卷积和及当期层map的关联关系,需要注意的是matlab的内置函数convn在计算卷积前,会对卷积核进行一次旋转,因此我们之前的所有卷积的计算都对卷积核进行了旋转:

convn在计算前还会对待卷积矩阵进行0扩展,如果卷积核为k*k,待卷积矩阵为n*n,需要以n*n原矩阵为中心扩展到(n+2(k-1))*(n+2(k-1)),所有上面convn(a,k,’full’)的计算过程如下:

图7

实际上convn内部是否旋转对网络训练没有影响,只要内部保持一致(即都要么旋转,要么都不旋转),所有我的卷积实现里面没有对卷积核旋转。如果在convn计算前,先对卷积核旋转180度,然后convn内部又对其旋转180度,相当于卷积核没有变。
为了描述清楚对卷积核旋转180与卷积层的残差的卷积所关联的权重与单元,正是前向计算所关联的权重与单元,我们选一个稍微大一点的卷积核,即假设卷积层采用用3*3的卷积核,其上一层采样层的输出map的大小是5*5,那么前向传输由采样层得到卷积层的过程如下:

图8

这里我们采用自己实现的convn(即内部不会对卷积核旋转),并假定上面的矩阵A、B下标都从1开始,那么有:

我们可以得到B矩阵每个单元与哪些卷积核单元和哪些A矩阵的单元之间有关联:

然后再用matlab的convn(内部会对卷积核进行180度旋转)进行一次convn(B,K,’full’),结合图7,看红色部分,除去0,A11=B’33*K’33=B11*K11,发现A11正好与K11、B11关联对不对;我们再看一个A24=B’34*K’21+B’35*K’22+B’44*K’31+B’45*K’32=B12*K23+B13*K22+B22*K13+B23*K12,发现参与A24计算的卷积核单元与B矩阵单元,正好是前向计算时关联的单元,所以我们可以通过旋转卷积核后进行卷积而得到采样层的残差。

残差计算出来后,剩下的就是用更新权重和偏置,这和BP是一样的,因此不再细究,有问题欢迎交流。

 

5、代码实现

详细的代码不再这里贴了,我依旧放在了github,欢迎参考和指正。我又是在重造车轮了,没有使用任何第三方的库类,这里贴一下调用代码:

6、参考文献

[1].YANN LECUN. Gradient-Based Learning Applied to Document Recognition.

[2].Shan Sung LIEW. Gender classification: A convolutional neural network approach.

[3] D. H. Hubel and T. N. Wiesel, “Receptive fields, binocular interaction teraction,and functional architecture in the cat’s visual cortex,”

[4] tornadomeet. http://www.cnblogs.com/tornadomeet/p/3468450.html.

[5] Jake Bouvrie. Notes on Convolutional Neural Networks.

[6] C++实现的详细介绍. http://www.codeproject.com/Articles/16650/Neural-Network-for-Recognition-of-Handwritten-Digi

[7] matlab DeepLearnToolbox https://github.com/rasmusbergpalm/DeepLearnToolbox

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