如何向非技术人员解释“稀疏傅里叶变换”算法?

【伯乐在线导读】:这个问题来自 Quora,下面是来自 Tanooj Luthra 的回复。

让我们来演奏一架想象中的钢琴。

钢琴的每个琴键都对应一个特定频率的声音。例如,一个比较有名的频率是国际标准音A(440赫兹)。当有琴键按下时,你听到的声音是一个完美的正弦波,振荡在440赫兹。同样,中央C对应的频率约为261赫兹声波。

不过,每次只演奏一个音符太单调了,我们来尝试几个音符同时演奏。有趣的是,两个各不相关的声音结合起来,就创造一个全新的独特声音。它不再只是单一的频率,这是两个频率的结合。如果琴键一起按下我们会发现,对应的频率也叠加在了一起。

三个音符组合形成的最终声音信号!

快速傅立叶变换(FFT)可以让我们将这个新的声音解构为原始的频率,从本质上得到这个和弦是由哪些琴键组成的。现在我们退一步,只演奏一个音符,看看这个原始信号及其FFT的示例图。

这幅图中的数字没有曲线形状所代表的意义那么重要。上面图中蓝色表示声音的波形,表示了其幅值相对于时间的关系。它是一个单一的频率,表示只演奏了音符A。FFT变换后,我们得到了一个很有趣的图形,幅值相对于频率的关系。此图中单个波峰表示原始信号中的单一频率,而大部分的频率不存在。前进一点点,在我们的和弦例子中有两个音符C和A,我们的FFT将有两个波峰!一个会出现在相同的位置,而另一个将出现在较低的频率。总体来说,一个信号的FFT将每个“纯”频率相加得到最终的输出结果。

我们给钢琴加一个歌手伴奏。

人的声音频率范围很宽,多种多样的频率组成了多种多样的声音(词语)。正如下面的图片,音频信号可能会非常非常复杂。相应的FFT在一定比例上有成千上万的非零频率(图上的红色曲线将有成千上万不同高度的峰值)。举个例子,即使是一个歌手想发出F音,最终也会产生许多不同的频率,因为人声不是一个理想的乐器。

说出不同词语时的音频信号。显然不像上面的标准音A那样光滑波动!

现在,我们已经有点明白FFT了,现在来看看MIT的稀疏FFT。当我们为钢琴加了歌手伴奏后,我们有一个C和A的和弦以及一个歌手努力维持唱出的F音,然后得到了一个参差不齐的音频信号及其FFT。原本的FFT将计算出每个频率的幅度,但我们也许可以利用这样一个事实,即大部分的频率将集中在C、A和F周围!因此,如果我们只计算组成最终音频信号的三个频率,可以复制出一个足够接近于原音乐乐谱的声音。这就是稀疏FFT在做什么。

这篇论文注意到一个事实,在视频信号中有89%的频率不是必须存在的。只计算11%的频率的稀疏FFT,信号质量不会恶化太多。虽然视频的频率和信号的相关概念更偏向技术性,但是理论同样适用于钢琴和歌手。

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关于作者:LynnShaw

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